Ненавистная текстовая задача на лодки

artemas_01 —Ненавистная текстовая задача на лодки — 09 янв 2016, 14:31 http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=46428&sid=b982b0172c9c6c832a131f6ffebcf77f

Помогите решить)) вроде система получается, но не решается

Русло реки разделяется длинной отмелью на две протоки одинаковой длины, но с разной скоростью течения. Две байдарки, имеющие в стоячей воде одинаковую скорость, выходят одновременно по течению: первая - в левую протоку, вторая - в правую. Первая байдарка прошла свою протоку на 5 мин быстрее, чем вторая. Затем они поднялись против течения теми же протоками, и при этом вторая байдарка прошла свой путь на 30 мин быстрее, чем первая. Если бы скорость байдарок в стоячей воде была в два раза больше, то обратный путь вторая байдарка прошла бы на 4 мин быстрее, чем первая. За какое время первая байдарка прошла свою протоку, идя вниз по течению?

Решение:
Путь — длина протоки: s = s1 = s2 принимаем как единичный отрезок s = 1.
По условию: v = v1 = v2 можно принять как единицу собственной скорости для байдарки v = 1 — рациональное зерно!

1) Система уравнений — для гения, считает в уме:
1/(1 + x) - 1/(1 + y) = -1/12 часа (5 минут — минус как опережение);
1/(1 - x) - 1/(1 - y) = +1/2 часа (30 минут — плюс как отставание).

1/(1 + x) - 1/(1 + y) = -1/12 && 1/(1 - x) - 1/(1 - y) = +1/2 [...]
Ответ: x = 1/2, y = 1/3. Дополнительные значения x = 3, y = 2 — не проходят, так как: 1/(2 - y) = 1/(2 - 2) = 1/0 — нельзя делить на нуль!

2) Система уравнений — для вундеркиндов, считают на пальцах:
1/(1 + x) - 1/(1 + y) = -1/12 часа (5 минут — минус как опережение);
1/(1 - x) - 1/(1 - y) = +1/2 часа (30 минут — плюс как отставание);
1/(2 - x) - 1/(2 - y) = +1/15 часа (4 минуты — плюс как отставание).

1/(1+x)-1/(1+y)=-1/12 && 1/(1-x)-1/(1-y)=1/2 && 1/(2-x)-1/(2-y)=1/15 [...]
Ответ: x = 1/2, y = 1/3

3) Система уравнений — для зарядных людей, считают на бумаге:
1/(v + x) - 1/(v + y) = -1/12 часа (5 минут — минус как опережение);
1/(v - x) - 1/(v - y) = +1/2 часа (30 минут — плюс как отставание);
1/(2v - x) - 1/(2v - y) = +1/15 часа (4 минуты — плюс как отставание).

1/(v+x)-1/(v+y)=-1/12 && 1/(v-x)-1/(v-y)=1/2 && 1/(2v-x)-1/(2v-y)=1/15 [...]
Ответ: v = 1, x = 1/2, y = 1/3

4) Система уравнений — для тугодумов, вроде vetvet:
s/(v + x) - s/(v + y) = -1/12 часа (5 минут — минус как опережение);
s/(v - x) - s/(v - y) = +1/2 часа (30 минут — плюс как отставание);
s/(2v - x) - s/(2v - y) = +1/15 часа (4 минуты — плюс как отставание).

s/(v+x)-s/(v+y)=-1/12 && s/(v-x)-s/(v-y)=1/2 && s/(2v-x)-s/(2v-y)=1/15 [...]
Ответ: v = s, x = s/2, y = s/3, 6s ≠ 0

Пояснение:
v = 1 — скорость байдарки в стоячей воде, принята за единицу.
x = 1/2 — скорость течения первой протоки.
y = 1/3 — скорость течения второй протоки.

Вопрос: за какое время первая байдарка прошла свою протоку, идя вниз по течению?
1/(1 + x) - 1/(1 + y) = -1/12
1/(1 + 1/2) - 1/(1 + 1/3) = 2/3 – 3/4 = -1/12
Ответ на вопрос:
1/(1 + 1/2) = 2/3 часа или 40 минут (вниз по течению — к устью).

Расчёт в уме, легко справляюсь за 5-7 минут!
1/(1 + x) - 1/(1 + y) = -1/12
1/(1 - x) - 1/(1 - y) = +1/2

Первое уравнение:
1/(1 + x) - 1/(1 + y) = -1/12
(1 + y) - (1 + x) = y - x
(1 + y) * (1 + x) = -1 - x - y - xy
12y – 12x + 1 + x + y + xy = 13y – 11x + 1 + xy = 0

Второе уравнение:
1/(1 - x) - 1/(1 - y) = +1/2
(1 - y) - (1 - x) = x – y
(1 - y) * (1 - x) = 1 - x - y + xy
2x – 2y - 1 + x + y - xy = 3x – y - 1 - xy = 0

Складываем по членам:
13y – 11x + 1 + xy = 0
3x – y – 1 – xy = 0
________________
12y – 8x = 0 —> 3/2y = x

Решаем квадратичное уравнение:
13y – 11*3/2y + 1 + 3/2y * y = 0
1.5y^2 - 3.5y + 1 = 0
D = 3.5^2 – 4 * 1.5 *1 = 12.25 – 6.0 = 6.25
6.25^0.5 = 2.5
(3.5 – 2.5)/(2 * 1.5) = 1/3, (3.5 + 2.5)/(2 * 1.5) = 2
y = 1/3, y = 2

х = 3/2 *1/3 = 1/2, х = 3/2 * 2 = 3.

Как вычислить "Пифагорийский триплет" в уме?

Пусть: x + y + z = 1000; x^2 + y^2 = z^2. Найти: x, y, z —в натуральных числах?
На Вольфраме: x + y + z = 1000 && x^2 + y^2 = z^2, x>0, y>0, z>0 [...]^2+%2B+y^2+%3D+z^2%2C+x%3E0%2C+y%3E0%2C+z%3E0&x=5&y=6
Ответы Вольфрама:
x = 200; y = 375; z = 425.
x = 375; y = 200; z = 425.

Как умудряюсь вычислять то же самое в уме? Кто сможет объяснить или угадать? Какой алгоритм использую?

Всё решаю за 4-5 минут! Такие задачи лучше решать перед сном, помогают заснуть.
Вначале упрощаю до меньшей суммы: 40 вместо 1000
Пусть: x + y + z = 1000/25 = 40; x^2 + y^2 = z^2; x>0, y>0, z>0
По смыслу задачи: 20 > z > 0. Решаем для целых чисел.

Ограничения в силу математики:
1) z^2 может заканчиваться: 0; 1; 4; 5; 6; 9 — тогда значения z: 10; 11; 19; 14; 18; 15; 16; 17.
2) z^2 не может заканчиваться: 2; 3; 7; 8 — поскольку квадратные корни не извлекаются.

Отбрасываем как неподходящие (очень малые) значения z: 10; 11; 14; 15.

Остальные детали:
16 —> только —> 1 + 5 или 11 + 15, но сумма не идёт: 11 + 15 + 16 не равна 40.
17 —> как корень —> 4 + 5 —> возможны: 5 + 18 или 8 + 15 —> сумма: 8 + 15 + 17 = 40
18 —> как корень —> 4 + 0 —> возможны: 10 + 18 или 8 + 10 —> сумма не получается.
19 —> как корень —> 5 + 6 —> возможны: 5 + 16 или 6 + 15 —> сумма не получается.

У меня в итоге единственный случай: 8 + 15 + 17 = 40 или 200 + 375 + 425 = 1000