Дифференциальные уравнения по Эвансу. Функция спроса и предложения

Дифференциальные уравнения по Эвансу

Пример, автор Valeriya_1995 — "Функция спроса и предложения" [...]



Переписываю условия с картинки, легче будет искать похожие решения в Интернете.

Функция спроса и предложения на некоторый товар имеет вид q=f(p,p’) и s=f(p,p’). Найти:
а) зависимость равновесной цены от времени, если p=a в момент времени t=0;
б) lim p, где t->∞ — является ли равновесная цена устойчивой?
в) построить график.
q = 50 – 2p – 4*dp/dt
s = 70 + 2p – 5*dp/dt
p = 10


1) Первый вариант рассуждений:
50 – 2p – 4*dp/dt = 70 + 2p – 5*dp/dt
50 – 2p = 4*dp/dt ; 12,5 – 0,5p = dp/dt
70 + 2p = 5*dp/dt; 14,0 + 0,4p = dp/dt
12,5 – 0,5p = 14,0 + 0,4p; -0,9p = 14,0 – 12,5 = 1,5; p*(равновесная цена) = -1,5/0,9 = -5/3 — интересно, почему отрицательная?

2) Второй вариант рассуждений:
50 – 2p – 4*dp/dt = 70 + 2p – 5*dp/dt
dp/dt = 20 + 4p
dp/(20 + 4p) = dp/(5 + p) = 4dt
Решим это дифференциальное уравнение:
∫dp/(5 + p) = ∫4dt; -ln|5 + p| = 4t – ln|C|

-ln(5 + p)/C = 4t; ln(5 + p)/C = -4t; 5 + p = C*e^(-4t)

Значит, общее решение дифференциального уравнения:

p(t) = 5 + C*e^(-4t)


Как выйти на равновесную цену?

50 – 2p – 4*dp/dt = 70 + 2p – 5*dp/dt
4*(12,5 – 0,5p – dp/dt) = 5*(14 + 0,4p – dp/dt)
0,8*(12,5 – 0,5p – dp/dt) = 10 – 0,4 – 0,8*dp/dt = 14 + 0,4p – dp/dt — пока ерунда!

Не вяжется, не можем найти точку устойчивого равновесия.

p*(равновесная цена) = (a – α)/(b + β) = (10 – 14)/((-0,4) + 0,4) = -4/0 (??) — нельзя!

А если как по первому варианту:
p*(равновесная цена) = (a – α)/(b + β) = (12,5 – 14)/((-0,5) + 0,4) = -1,5/(-0,1) = 15

Надо кое-что уточнить, потом напишу.

Возможно, в условиях p = 10 и есть "равновесная цена".

Когда-то пытался решать подобное. Сейчас всё уже забыл. Такой мусор редко кому нужен, поэтому в памяти не задерживается.

Равновесная цена определяется в каждый момент времени путем приравнивания объема спроса и объема предложения. Вы уже сделали это, решили полученное уравнение и получили формулу для равновесной цены.

Kanton!
Хорошо, спасибо!

Сейчас буду строить график. Насколько верно полученное уравнение: p(t) = 5 + C*e^(-4t)?
График надо строить по нему?

Как быть с пространными вопросами:
а) зависимость равновесной цены от времени, если p=a в момент времени t=0;
б) limp, где t->∞ — является ли равновесная цена устойчивой?

По форме похоже, но коэффициенты не проверял. Я надеюсь, вы сами сможете проверить.


Да, с учетом значения p=a в точке t = 0.


Если коэффициенты, приведенные вами верны, то C=a-5. Соответственно, рекомендую разбить задачу на два случая: c> 0 и c <0, и для каждого построить качественный (т.е. не количественный) график. В первом случае он будет монотонно убывающим, во втором- монотонно возрастающим.


По всей видимости, необходимо доказать, что у найденной вами формулы равновесной цены существует предел при t->∞.

Kanton!
Честно говоря, ничего не понял из Ваших пояснений. Не являюсь вундеркиндом. Приходится своим горбом добывать знания.

По-моему, задачи чепуховые — из области частных производных: d(p)/d(t). Только много тумана вокруг.

Делаем вначале так, просматриваем две книги. Там профессор витает в облаках, пытается нести математику в массы. Правда, безуспешно:

1) Учебный центр «Резольвента»
Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ. МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие по разделу
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ [...]

В книге — выше, приводятся решения типовых задач.


2) Учебный центр «Резольвента»
Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ. МАТЕМАТИКА
Учебно-методическое пособие по разделу
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ [...]

На стр. 31 — суть предела, как равновесной цены




Далее, на стр. 44 — предлагается решить самостоятельно:
9. Процесс установления равновесной цены на рынке одного товара описывается моделью Эванса с дискретным временем. Товар поступает на рынок в течение нескольких равных промежутков времени. В течение i-го промежутка времени цена товара не изменяется и обозначается pi , а спрос и предложение заданы формулами:

D(i) = 11 – 3p(i), S(i) = 3 +2p(i-1),

соответственно. В начальный момент времени цена товара известна: p(0)= 4.
Найти равновесную цену товара p(4).

Не хочется тянуть кота за хвост.

Так быстрее идёт поиск — ниже.

Google: примеры решений задач c использованием дифференциальных уравнений для функций предложения и спроса

С первой попытки подцепил — аналогичный пример с решением

III. Дифференциальные уравнения. [...]




1.9. Применение дифференциальных уравнений в экономике [...]

Тесты с ответами, для проверки самого себя

Дополнение

1.9. Применение дифференциальных уравнений в экономике [...]

Рассмотрим рынок одного товара. В простых моделях функции спроса D(t) и
предложения S(t) зависят от текущей цены на товар p(t) . Однако в реальных ситуациях
спрос и предложение зависят от скорости изменения цены и темпа изменения цены. Тогда в моделях такие свойства описываются первой и второй производной функции цены p(t) . Для решения таких задач применяются дифференциальные уравнения.

Начало пояснений




Конец пояснений




Сейчас попробую бегло решить первые три тестовых задания, смотрите пост выше. Покажу свои решения.

Решаю тестовые задания

1.10. Задачи для состоятельного решения
В следующих задачах для заданных функций спроса и предложения
D(t) = a₁ + b₁p(t) + c₁p´(t) , S(t) = a₂ + b₂p(t) + c₂p´(t) ,
найти зависимость равновесной цены от времени t, если в начальный момент времени
p(0) = p₀. Построить график функции p(t). Выяснить, является ли равновесная цена
устойчивой.

А.1. D(t) = 60 –2p(t) –3p´(t) , S(t) = 40 –2p(t) + p´(t) , p(0) = 20 .
А.2. D(t) = 40 + p(t) + 3p´(t) , S(t) = 30 + 3p(t) – 2p´(t) , p(0) = 4 .
А.3. D(t) = 140 – p(t) – 4p´(t) , S(t) = 120 + 4p(t) + 5p´(t) , p(0) = 100 .

Ответы, предлагаются в учебнике — ниже.
А.1. p(t) = 15*e^(-2t) + 5; lim(p),t-> ∞ = 5.
А.2. p(t) = 5 – e^(-2/5*t); lim(p),t-> ∞ = 5.
А.3. p(t) = 10 + 90*e^(-2/10*t); lim(p),t-> ∞ = 10.

Решения:

1) Первый тест:
А.1. D(t) = 60 – 2p(t) –3p´(t) , S(t) = 40 – 2p(t) + p´(t) , p(0) = 20 — ?? — по-моему, опечатка!
А.1. D(t) = 60 – 2p(t) –3p´(t) , S(t) = 40 + 2p(t) + p´(t) , p(0) = 20 — интуитивно, надо так!

p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀, C₁ = p₀ * (b₂ – b₁) + (a₂ – a₁) = 20 * ((+2) – (-2)) + (40 – 60) = 20 * (+4) + (-20) = 60

p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀ = (60 – 40)/((+2) – (-2)) + (+60) * 1/(((+2) – (-2)) = 5 + 15 = 20

p(t) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + [p₀ + (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]* e^[(b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) * t] = (60 – 40)/((+2) – (-2)) + [20 + (60 – 40)/((+2) – (-2))]* e^[((+2) – (-2))/((-3) – (+1))) * t] = (20)/(4) + [20 + (20)/(4)]* e^[(+4)/(-2) * t] = 5 + 25*e^(-2t) — чуть расходится с предлагаемым ответом: p(t) = 5 – e^(-2/5*t);
Если (b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) = ((+2) – (-2))/((-3) – (+1)) = 4/(-2) = -2 < 0, то lim(p), где t->∞ = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) = (60 – 40)/((+2) – (-2) = 5 — равновесная цена имеет конкретный предел, значит она стабильная (устойчивая). Смотрите рисунок 5, пост выше.


2) Второй тест:
А.2. D(t) = 40 + p(t) + 3p´(t) , S(t) = 30 + 3p(t) – 2p´(t) , p(0) = 4 .

p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀, C₁ = p₀ * (b₂ – b₁) + (a₂ – a₁) = 4 * ((+3) – (+1)) + (30 – 40) = 4 * (+2) + (-10) = -2

p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀ = (40 – 30)/((+3) – (+1)) + (-2) * 1/(((+3) – (+1)) = 5 + (-1) = 4

p(t) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + [p₀ + (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]* e^[(b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) * t] = (40 – 30)/((+3) – (+1)) + [4 + (40 – 30)/((+3) – (+1))]* e^[((+3) – (+1))/((+3) – (-2))) * t] = (10)/(2) + [4 + (10)/(2)]* e^[(+2)/(+5) * t] = 5 + 9*e^(2/5*t) — чуть расходится с предлагаемым ответом: p(t) = 5 – e^(-2/5*t)

Наверно, опять отпечатка!

Если записывать так [p₀ – (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)] — совпадают и первый, и второй ответы!!
p(t) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + [p₀ – (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]* e^[(b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) * t] = (60 – 40)/((+2) – (-2)) + [20 – (60 – 40)/((+2) – (-2))]* e^[((+2) – (-2))/((-3) – (+1))) * t] = (20)/(4) + [20 – (20)/(4)]* e^[(+4)/(-2) * t] = 5 + 15*e^(-2t) — совпадает с предлагаемым ответом: p(t) = 5 – e^(-2/5*t);

p(t) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + [p₀ – (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]* e^[(b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) * t] = (40 – 30)/((+3) – (+1)) + [4 – (40 – 30)/((+3) – (+1))]* e^[((+3) – (+1))/((+3) – (-2))) * t] = (10)/(2) + [4 – (10)/(2)]* e^[(+2)/(-5) * t] = 5 – e^(2/5*t) — почти совпадает с предлагаемым ответом: p(t) = 5 – e^(-2/5*t). Непонятен только минус при степени.

Продолжаю второе решение
Если (b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) = ((+3) – (+1))/((+3) – (-2)) = 2/5 > 0, то lim(p), где t->∞ = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) = (60 – 40)/((+2) – (-2) = +∞ — равновесная цена не имеет конкретного предела, значит она нестабильная (неустойчивая). Смотрите рисунок 5, пост выше.

Опять разошёлся во мнениях с предлагаемым ответом, из-за минуса в дроби.

Надо всё-таки учитывать мнение Самарова, картинка где-то выше:
В случае, когда |b| < |d| , существует предел равновесных цен товаров.
lim(p), где t->∞ = lim, t->∞ [ (p₀ - (c – a)/(b + d)) * (-b/d)^(t) + (c – a)/(b + d)] = (c – a)/(b + d)
Потом вернусь, к этому вопросу.

Можно предполагать опечатку в условиях:
А.2. D(t) = 40 + p(t) + 3p´(t) , S(t) = 30 + 3p(t) – 2p´(t) , p(0) = 4
Если
А.2. D(t) = 40 + p(t) – 3p´(t) , S(t) = 30 + 3p(t)+ 2p´(t) , p(0) = 4
То полностью совпадает с ответом:
(b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) = ((+3) – (+1))/((-3) – (+2)) = -2/5 < 0 — и так далее.


3) Третий тест:
А.3. D(t) = 140 – p(t) – 4p´(t) , S(t) = 120 + 4p(t) + 5p´(t) , p(0) = 100 .

p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀, C₁ = p₀ * (b₂ – b₁) + (a₂ – a₁) = 100 * ((+4) – (-1)) + (120 – 140) = 100 * (+5) + (-20) = 480

p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀ = (140 – 120)/((+4) – (-1)) + (+480) * 1/(((+4) – (-1)) = 4 + 96 = 100

Сразу пишу: [p₀ – (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]
p(t) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + [p₀ – (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]* e^[(b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) * t] = (140 – 120)/((+4) – (-1)) + [100 – (140 – 120)/((+4) – (-1))]* e^[((+4) – (-1))/((-4) – (+5))) * t] = (20)/(5) + [20 – (20)/(5)]* e^[(+5)/(-9) * t] = 5 + 96*e^(-5/9*t) — сильно расходится с предлагаемым ответом: p(t) = 10 + 90*e^(-2/10*t).

Если (b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) = ((+4) – (-1))/((-4) – (+5)) = 5/(-9) = -5/9 < 0, то lim(p), где t->∞ = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) = (140 – 120)/((+4) – (-1)) = 20/5 = 4 — равновесная цена имеет конкретный предел, значит она стабильная (устойчивая). Смотрите рисунок 5, пост выше.

Сейчас буду решать самое первую задачу от Valeriya_1995. Пожалуй, практики хватит.

Решение задачи от Valeriya_1995

D(t) = 50 – 2p – 4p´(t), S(t) = 70 + 2p – 5p´(t), p(0) = 10
По схемам из учебника:
p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀, C₁ = p₀ * (b₂ – b₁) + (a₂ – a₁) = 10 * ((+2) – (-2)) + (70 – 50) = 10 * (+4) + (+20) = 60

p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀ = (50 – 70)/((+2) – (-2)) + (+60) * 1/(((+2) – (-2)) = -5 + 15 = 10

Сразу пишу: [p₀ – (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]

p(t) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + [p₀ – (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]* e^[(b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) * t] = (50 – 70)/((+2) – (-2)) + [10 – (50 – 70)/((+2) – (-2))]* e^[((+2) – (-2))/((-4) – (-5))) * t] = (-20)/(4) + [10 – (-20)/(4)]* e^[(+4)/(+1) * t] = -5 + 15*e^(4*t) = 15*e^(4*t) – 5

Если (b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) = ((+2) – (-2))/((-4) – (-5)) = 4/(+1) = 4 > 0, то lim(p), где t->∞ = +∞ — равновесная цена не имеет конкретного предела, значит она нестабильная (неустойчивая).

На графике:
1) ось ординат 0Y будут равные интервалы цены — p;
2) ось абсцисс 0X будут равные интервалы времени — t.

Вычисляем точки графика:
p(0) = 15*e^(4*t) – 5 = 15*e^(4*0) – 5 = 15 * 1 – 5 = 10 — всё верно!
p(1) = 15*e^(4*t) – 5 = 15*2,7^(4*1) – 5 = 15 * 53,1 – 5 = 791,5 — приблизительно: e = 2,7
p(2) = 15*e^(4*t) – 5 = 15*2,7^(4*2) – 5 = 15 * 2824,3 – 5 = 42359,5
Всё, хватит. Уж очень резвая цена!

Для очистки совести, проверяю этот метод на готовом решении, пример 3.12
Смотрите: III. Дифференциальные уравнения. [...]

По условию:
D(t) = 110 + p + 2p´(t), S(t) = 80 – 2p + 3p´(t), p(0) = 17
По схемам из учебника:
p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀, C₁ = p₀ * (b₂ – b₁) + (a₂ – a₁) = 17 * ((-2) – (+1)) + (80 – 110) = 17 * (-3) + (-30) = -81

p(0) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + C₁ * 1/(b₂ – b₁) = p₀ = (110 – 80)/((-2) – (+1)) + (-81) * 1/((-2) – (+1)) = -10 + 27 = 17

Сразу пишу: [p₀ – (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]

p(t) = (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁) + [p₀ – (a₁ – a₂)/(b₂ – b₁)]* e^[(b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) * t] = (110 – 80)/((-2) – (+1)) + [17 – (110 – 80)/((-2) – (+1))]* e^[((-2) – (+1))/((+2) – (+3)) * t] = (+30)/(-3) + [17 – (+30)/(-3)]* e^[(-3)/(-1) * t] = -10 + 27*e^(3*t) = 27*e^(3*t) – 10 — полностью совпадает с ответом!
Если (b₂ – b₁)/(c₁ – c₂) = ((-2) – (+1))/((+2) – (+3)) = -3/(-1) = 3 > 0, то lim(p), где t->∞ = +∞ — равновесная цена не имеет конкретного предела, значит она нестабильная (неустойчивая).
Вычисляем точки графика:
p(0) = 27*e^(3*t) – 10 = 27*e^(3*0) – 10 = 27*1 – 10 = 17 — всё в ажуре!
p(1) = 27*e^(3*t) – 10 = 27*e^(3*1) – 10 = 27*19,7 – 10 = 521,9 —приблизительно: e = 2,7
p(2) = 27*e^(3*t) – 10 = 27*e^(3*2) – 10 = 27*387,4 – 10 = 10449,8 — и так далее.

Здесь, на примере с решением — методика совсем правильная.

Правильно так — ниже, Вольфрам уже понимает с полуслова:
50 – 2p – 4*dp/dt = 70 + 2p – 5*dp/dt — смотрите [...]
p(t) = C*e^(4t) – 5
p(0) = 10; С = 10 + 5;
p(t) = 10 = 15*e^(4*0) – 5 = 15*1 – 5 = 10.