Помогите пожалуйста с решением задач по макроэкономике

staswoll!

Попробую, в минуты творчества, хоть частично осилить «странную задачу».

Смотрите выше, где совет «Я записываю ограничения основываясь на идеи. Х1А+Х1В≤10000, Х1А→1,17*Х1А – будет через год, Х2А+Х2В≤1,17*Х1А, Х2А→1,17*Х2А, Х1В→1,39* Х1В, Х3А+Х3В≤1,17*Х2А +1,39Х1В, Х4А≤1,17*Х3А +1,39Х2В. Х1А≥0, Х1В≥0,… Записать критерии оптимальности и чему мы стремимся (функции цели) 1,17*Х4А +1,39Х3В→ max (ALEXIN: непонятно почему? Написано 1,39Х3В, а не 1,39Х4В). Эти задачи называются линейного программирования (решаются в Excel)»
Здесь Автор: 1,17*Х4А +1,39Х3В→ max, думаю, пишет про кратность двум годам — вложение в В на 4-м году уже не имеет смысла.

Моё решение:

Введём обозначения:
- для проекта А: Х— общая сумма вложения, Х1 — вложение в первый год, Х2 — во-второй год и т.д.
- для проекта В: Y— общая сумма вложения, Y1 — вложение в первый год, Y2 — во-второй год и т.д.
Тогда функция цели (целевая): 0.7*(Х1 + Х2 + Х3) + 2*(Y1 +Y2) => 0.7*X + 2*Y => max
Ограничения:
- для первого года: X1 +Y1 =< 100000; 0.7 * (2*Y1) = < 140000; 0.7*3*X1 = < 210000; 2*Y1 = < 200000;
- для второго года: X2 +Y2 =< 70000; X2 > 0.7*X2; 2*Y2 > X1;
- для третьего года: X3 +Y3 =< 200000; X3 > 0.7*X3; 2*Y3 = 0.

На этом и закончились фантазии… Ещё надо поразмышлять.

К размышлению!
Задача [...]
Предприятие планирует выпускать четыре вида продукции. Объемы ресурсов трех видов (в расчете на трудовую неделю), затраты каждого ресурса на изготовление единицы продукции и цена единицы продукции приведены в таблице. Найти, сколько продукции и какого вида необходимо производить, чтобы общая выручка от реализации всей выпущенной продукции была бы наибольшей. Построить модель прямой и двойственной задач. Найти оптимальные планы для обеих задач и экстремальные значения целевых функций. Дать экономическую интерпретацию основным и дополнительным переменным исходной и двойственной задач. Проанализировать рациональность расширения ассортимента продукции за счет включения новой продукции (П5).

Решение.
Обозначим через x1..x4 число изготавливаемых продуктов. Тогда условие задачи может быть записано в следующем виде:

25x1 + 30x2 + 40x3 + 35x4 → max
8x1 + 10x2 + 8x3 + 10x4 ≤ 3600
4x1 + 7x2 + 4x3 + 6x4 ≤ 1850
4x1 + 3x2 + 3x3 + 5x4 ≤ 1500
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x3 ≥ 0
x4 ≥ 0

Припишем каждому из видов сырья, используемых для производства продукции, двойственную оценку, соответственно равную y1, y2 и у3. Тогда общая оценка сырья, используемого на производство продукции, составит

3600y1 + 1850y2+ 1500y3 → min

Согласно условию, двойственные оценки должны быть такими, чтобы общая оценка сырья, используемого на производство единицы продукции каждого вида, была не меньше цены единицы продукции данного вида, т. е. y1, y2 и у3 должны удовлетворять следующей системе неравенств:
8y1 + 4y2+ 4y3 ≥ 25
10y1 + 7y2+ 3y3 ≥ 30
8y1 + 4y2+ 3y3 ≥ 40
10y1 + 6y2+ 5y3 ≥ 35
y1 ≥ 0
y2 ≥ 0
y3 ≥ 0

Как видно, данные задачи образуют симметричную пару двойственных задач. Решение прямой задачи дает оптимальный план производства изделий, а решение двойственной – оптимальную систему оценок сырья, используемого для производства этих изделий. Чтобы найти решение этих задач, следует сначала отыскать решение какой–либо одной из них.

Приведем математическую модель задачи к каноническому виду.Для этого избавимся от знаков неравенств посредством ввода дополнительных переменных и замены знака неравенства на знак равенства. Дополнительная переменная добавляется для каждого неравенства, причем эта переменная указывается в целевой функции с нулевым коэффициентом. Правило ввода дополнительных переменных: при ">=" - переменная вводится в неравенство с коэффициентом (-1); при "<=" - с коэффициентом (+1).

25x1 + 30x2 + 40x3 + 35x4 - 0x5 - 0x6 - 0x7 → max
8x1 + 10x2 + 8x3 + 10x4 + x5 = 3600
4x1 + 7x2 + 4x3 + 6x4 + x6 = 1850
4x1 + 3x2 + 3x3 + 5x4 + x7 = 1500

Экономический смысл введенных дополнительных переменных - остатки соответствующих ресурсов каждого вида. Для решения задачи составим симплекс-таблицу.
Симплекс-таблица составляется так:
В графе "Базис" записываются вектора переменных, принимаемые за базисные. На первом этапе это – A5, A6, A7. Базисными будут переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы, и нет такого уравнения, в которое не входила бы хотя бы одна из базисных переменных...

staswoll!

Денежные средства могут быть использованы для финансирования двух проектов. Проект А гарантирует получение прибыли в размере 70 копеек на вложенный рубль через год. Проект В гарантирует получение прибыли в размере 2 руб. на каждый инвестированный рубль, но через два года. При финансировании проекта В период инвестиций должен быть кратным двум годам. Как следует распорядиться капиталом в 100000 рублей, чтобы максимизировать суммарную величину прибыли, которую можно получить через три года после начала инвестиций? Сформулируйте данную задачу как задачу ЛП.

Вашу задачу, см. выше, разместил на лучшем Матфоруме в России.Там, тоже Малограмотные, никто решить не может. Смотрите: «ПроклятОе линейное программирование» [...]

Надо исправить ударение: ПрОклятое или ПроклЯтое.

Там выше, ругал преподавателей, кто же прав?! Как такую задачу сможет решить студент?! Прошу Вас периодически заходить На Матфорум и спрашивать, в теме, где Ваша задача: ОСТАЛИСЬ ЛИ В РОССИИ ТАЛАНТЛИВЫЕ МАТЕМАТИКИ? КТО СМОЖЕТ РЕШИТЬ?

Пояснение:
Циклическая безработица, кроме социальных бедствий, приносит реальные потери в объеме реального ВВП. На это обратил внимание Х. Оукен. Он сформулировал закон, согласно которому страна теряет 2-3% фактического ВВП пo отношению к потенциальному, когда фактический уровень безработицы увеличивается на 1% по сравнению с естественным уровнем.
(Y-Y’)/Y’= -B(U-Un)
Y – фактический ВВП;
Y’ - потенциальный ВВП;
U – фактический уровень безработицы;
Un– естественный уровень безработицы;
B - коэффициент Оукен.

Решение:
Считаем коэффициент Оукена как 2.5 (из расчёта: (2 + 3)/2 = 2.5 — см.текст выше: страна теряет 2-3%).
Тогда
[(Y-Y’)/Y’] * 100 = [(Y/Y’ –Y’/Y’] * 100 = (Y/Y’) * 100 - 100 = -2.5 * (8.4 – 6) = -6 %

Далее Y/Y’ = (-6 +100)/100 = 0.94.
Находим, что Y – фактический ВВП равен 94 % от потенциального.

Y’ - потенциальный ВВП = 38807,2 млрд дол. : 0.94 = 41284,255 ~ 41284 млрд дол.

ЗЛОПОЛУЧНАЯ ЗАДАЧА.

Рассуждаю самостоятельно, никаких АНАЛОГОВ не нашёл.

УСЛОВИЯ
Денежные средства могут быть использованы для финансирования двух проектов. Проект А гарантирует получение прибыли в размере 70 копеек на вложенный рубль через год. Проект В гарантирует получение прибыли в размере 2 руб. на каждый инвестированный рубль, но через два года. При финансировании проекта В период инвестиций должен быть кратным двум годам. Как следует распорядиться капиталом в 100000 рублей, чтобы максимизировать суммарную величину прибыли, которую можно получить через три года после начала инвестиций? Сформулируйте данную задачу как задачу ЛП.

ПОЯСНЕНИЯ:

Расчетная прибыль [...]
Расчетная норма прибыли — (accounting rate of return, ARR) Чистая прибыль, ожидаемая от инвестиций, рассчитанная в процентах балансовой стоимости инвестированного капитала. сравни: чистая текущая стоимость (net present value, NPV). Финансы. Толковый словарь. 2 е изд. М.: … … Финансовый словарь

Средняя расчетная прибыль — Средняя величина доходов от проекта (после вычета налогов и амортизационных отчислений), деленная на среднюю величину балансовой стоимости капиталовложений за весь период существования проекта … Инвестиционный словарь

Чистый дисконтированный доход [...]
Чистая текущая стоимость (чистая приведённая стоимость) (англ. Net present value, принятое в международной практике анализа инвестиционных проектов сокращение — NPV (ЧДД)) — это сумма дисконтированных значений потока платежей, приведённых к сегодняшнему дню. Показатель NPV представляет собой разницу между всеми денежными притоками и оттоками, приведенными к текущему моменту времени (моменту оценки инвестиционного проекта). Он показывает величину денежных средств, которую инвестор ожидает получить от проекта, после того, как денежные притоки окупят его первоначальные инвестиционные затраты и периодические денежные оттоки, связанные с осуществлением проекта…
Иначе говоря, для потока платежей CF (Cash Flow), где CFt — платёж через t лет (t = 1,...,N) и начальной инвестиции IC (Invested Capital) в размере IC = − CF0 чистый дисконтированный доход NPV рассчитывается по формуле: …

Решение:

По смыслу пояснений, выше, каждый вложенный рубль увеличивается для потока платежей:

По проекту А: в 1.7 раза за год (1.7 – 1 = 0.7 — прибыль).
По проекту В: в 3 раза, но за 2 года — нельзя извлечь ранее (два года: 3 – 1 = 2.0 — прибыль, в расчёте на год: 2 – 1 = 1).

Попытаюсь показать принципиальную СХЕМУ, в тыс. руб. — смотрите ниже:

Начало — НУЛЕВОЙ год:
В проект А: х1
В проект В: х2 = 100 – х1

Ограничения:
х1 + х2 ≤ 100;
0 ≤ х1 и 0 ≤ х2 — для ограничений всегда использую только максимально возможное значение.

ПЕРВЫЙ год закончился:
Имеем поток только от проекта А — 1.7х1, который можем распределить, учитывая: 1.7х1 = х3 + х4 или х4 = 1.7х1 – х3

В проект А: х3
В проект В: х4 = 1.7х1 – х3

Ограничения:
х3 ≤ 170;
х4 = 1.7х1 – х3 ≤ 170

ВТОРОЙ год закончился:
Имеем поток от проекта А — 1.7х3, который отправляем только на проект А, поскольку отдача по условию от проекта В будет не ранее ЧЕТВЁРТОГО года
Имеем поток от проекта В — 3х2 = 3 * (100 – х1) = 300 – 3х1, который отправляем только на проект А, поскольку отдача, по условию, от проекта В будет не ранее ЧЕТВЁРТОГО года (кратность два года).

В проект А: (1.7х3) + (300 – 3х1)
Ограничения:
1.7х3 ≤ (1.7 * 170) = 289;
300 – 3х1 ≤ 300

Конец — ТРЕТИЙ год закончился:
Имеем поток от проекта А — [1.7 * (1.7х3) + 1.7 * (300 – 3х1)] = (2,89х3 + 510 – 5.1x1) — всё конец!
Имеем поток от проекта В — 3х4 = 3 * (1.7х1 – х3) = (5.1х1 – 3х3)

Ограничения:
2.89х3 ≤ (1.7 * 1.7 * 170) = 491.3;
1.7 * (300 – 3х1) ≤ 1.7 * 300 = 510
2,89х3 + 510 – 5.1x1 ≤ (491.3 + 510) = 1001.3
3х4 = 3 * (1.7х1 – х3) = 5.1х1 – 3х3 ≤ 3 * 170 = 510

Суммируем потоки ТРЕТЬЕГО года по проектам А и В, вычитаем начальные инвестиции и получаем уравнение ПРИБЫЛИ за три года:
[(2,89х3 + 510 – 5.1x1) + (5.1х1 – 3х3)] - 100 = 410 – 0.11x3 => max
Конец СХЕМЫ.

Пишу, как думаю, получается 410 при х3 = 0. Значит, вкладывать инвестиции до и после ПЕРВОГО года в проект А — не надо! Они вкладываются в проект А уже после ВТОРОГО года, т.к. проект В ограничен кратностью.

Хорошо, а как определиться с х1 и х2?

Интуитивно, чувствую все деньги 100 тыс. руб. надо целиком вложить в проект В, где они за два года достигнут суммы 300 тыс. руб. (300 – 100 = 200 — прибыль). Затем вкладываются в проект А, где сумма увеличивается до 510 тыс. руб.
Окончательно, вычитаем — из общей суммы — первоначальные инвестиции и получаем:
[ (100 * 3) *1.7] - 100 = 510 – 100 = 410 тыс. руб.

Как таковых переменных только две: х1 и х3, через которые можно уже выразить и остальные (х2; х4).

Чуть попозже попробую нарисовать рисунки для графического метода ЗЛП, а также показать ОДР и градиент.

ФОРМАЛИСТИКА.

Интересно — кто Автор задачи «про финансирование проектов: А и В»? Там, выше, ругаю преподов-идиотов — кого ещё винить, если ALEXIN — прав!

Сама задача примитивная. Весь фокус в формулировке «проект В гарантирует получение прибыли в размере 2 руб. на каждый инвестированный рубль, но через два года», которую можно уподобить вкладу под СЛОЖНЫЙ процент, на два года:

[1руб * (1 + R)^2] – 1 = 2 руб, как проценты по вкладу — надо найти банковскую ставку?!
[1 * (1 + R)^2] = 2 + 1 = 3 руб
(1 + R)^2 = 3 => 1 + R = 3^(1/2) = 1,732 => R = 1,732 – 1 = 0,732 руб или показатель годовой прибыли по проекту В на каждый инвестированный рубль, но учитывая кратность два года будет: (1 + 0,732)^2 = 3 руб дохода по потоку. Чистая прибыль за вычетом инвестированного рубля: 3 – 1 = 2 руб.
Тогда принцип решения. Надо, чтобы вначале деньги (полностью) на два года были инвестированы в проект В и потом на год в проект А:
{[100 * (1 + 0,732)^(2)] * (1 + 0.7)^(1)} – 100 = (100 * 3 * 1.7) – 100 = 510 – 100 = 410 тыс. руб.
Или наоборот, вначале деньги (полностью) на год были инвестированы в проект А и потом на два года в проект В:
{[100 * (1 + 0.7)^(1)] * (1 + 0.732)^(2)} – 100 = (100 * 1.7 * 3) – 100 = 510 – 100 = 410 тыс. руб.

К сведению!
Если деньги поместить на три года в проект А — то чистая прибыль составит:
[100 * (1 + 0,7)^(3)] – 100 = (100 * 4,913) – 100 = 491.3 – 100 = 391.3 тыс. руб.
Ниже максимальной прибыли на: 410 – 391.3 = 18.7 тыс.руб.

ДРУГОЙ ПОДХОД!
Предположим в задаче ПРОСТОЙ процент, а не СЛОЖНЫЙ.
[1руб * (1 + 2 * R)] – 1 = 2 руб, как проценты по вкладу — надо найти банковскую ставку?!
[1 * (1 + 2 * R)] = 2 + 1 = 3 руб
(1 + 2 * R) = 3 => 2 * R = 3 - 1 = 2 => R = 2/2 = 1 руб или 100 %
Решаем по тому же принципу!
Вначале деньги (полностью) на два года инвестируем в проект В и потом на год в проект А:
(100 * 3) + (100 * 1.7) – 2 * 100 = 100 * (3 + 1.7) – 200 = 470 – 200 = 270 тыс. руб.
Или наоборот:
(100 * 1.7) + (100 * 3) – 2 * 100 = 100 * (1.7 + 3) – 200 = 470 – 200 = 270 тыс. руб.
(100 * 0.7) + (100 * 2) = 100 * (0.7 + 2) = 270 тыс. руб
Если деньги поместить на три года в проект А — то чистая прибыль составит:
[100 * (1 + 3 * 0,7)] – 100 = (100 * 3.1) – 100 = 310 – 100 = 210 тыс. руб.
Ниже максимальной прибыли на: 270 – 210 = 60 тыс. руб.
По смыслу упрощаем — если деньги поместить на три года в проект А — то чистая прибыль составит:
100 * (3 * 0,7) = 100 * 2.1 = 210 тыс. руб.
Вдруг всё-таки потребуют решать через ПРОСТЫЕ проценты как ЗЛП?!

ИМИТАЦИЯ формального решения!
Напишите целевую функцию: прибыль f = 2.7 * (х1 + х2) => max
Ограничения задачи имеют вид:
х1 + х2 ≤ 100
0 ≤ х1 ≤ 100 и 0 ≤ х2 ≤ 100
Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент (grad f), координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е. для grad f находим точки: c1= df/dX1 = d(2.7 * (х1 + х2))/dX1 = 2.7; c2= df/dX2 = d(2.7 * (х1 + х2))/dX2 получили (2.7; 2.7).
Что бы построить этот вектор, нужно соединить точку (2.7; 2.7) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении. Для удобства можно строить вектор, пропорциональный вектору grad f. Так, творим вектор-градиент (135; 135) — сами можем увеличить в 50 раз.
Перпендикулярно ему будет проходить линия уровня F с точками (2.7; -2.7) у начала координат, потом придётся провести ещё одну — для точки на прямой х2 = 100 – х1.
Нарисуйте прямую, проходящую через точки на ОХ2 (0; 100) и на ОХ1 (100; 0), которую пересечёт наш вектор-градиент. Он якобы покажет значения (50; 50).

Мне без разницы: он покажет или нет — целевая функция так составлена, что вариант беспроигрышный! С юмором!
100 = 10 + 90 = 20 + 80 = … и т. д.
Формально задача уже решена!

Как пытались решать ЭТУ ЗАДАЧУ?!

Rubens
Oct 23 2012, 10:10
Огромное спасибо andrew2106, кому интересно решение: [...]
max z = (1 + α) * (x1A + x2A + x3A ) + (1 + β) * (x1B + x2B )
max z = (1 + α) * x3A + (1 + β) * x2B
x1A + x1B ≤ 100
x2A + x2B ≤ 1,7 * x1A
x3A ≤ 1,7 * x2A + 3 * x1B
0 ≤ xij
По-моему, никакой график по таким загадочным значениям не построить!

Ошибка для формулы ПРОСТОГО процента!
max z = (1 + α) * x3A + (1 + β) * x2B

ПРАВИЛЬНО будет:
max z = (1 + α * x3A) + (1 + β * x2B) – 2 = (α * x3A) + (β * x2B) = 0.7 * x1A + 2 * x2B = парадоксально?! (x1A = x2B) — одна и та же сумма будет эффективно проходить через два проекта! Можете логически проверить! = ( 0.7 + 2) * (x1A + x2B) = 2.7 * (x1A + x2B) = 2.7 * 100 000 = 270 000
Ограничения:
x1A + x2B ≤ 100 000
2.7 * x1A + 2.7 * x2B ≤ 270 000
0 ≤ x1A; 0 ≤ x2B.
Решая систему:
x1A + x2B = 100
2.7 * x1A + 2.7 * x2B = 270 000
Получим множество решений. В условиях нехватка данных — для единственного решения! Но прибыль будет максимальная только 270 000 $, больше невозможно!

А фразу «сформулируйте данную задачу как задачу ЛП» придумали просто для усложнения чепуховой задачи!

5.1. Оптимизация распределения инвестиций в долгосрочные проекты [...]
Денежные средства могут быть использованы для финансирования трех проектов разной длительности.
Проект А гарантирует получение прибыли в размере 70 центов на вложенный доллар через год. Проект В гарантирует получение прибыли в размере $2 на каждый инвестированный доллар, но через два года. Проект С гарантирует получение прибыли в размере $3 доллара на каждый инвестированный доллар, но через три года.
При финансировании проекта В период инвестиций должен быть кратным 2-м годам, а проекта С - трем годам. Как следует распорядиться капиталом в $100,000, чтобы максимизировать суммарную величину прибыли, которую можно получить через пять лет после начала инвестиций?
Как изменится оптимальное решение при изменении процентов прибыли по каждому из проектов?

РЕШЕНИЕ:
Предполагаем ПРОСТОЙ процент, быстро прикидываем прибыль за один год по каждому проекту:
А (0.7) < B (2/2 = 1) = C (3/3 = 1).
В проект А не вкладываем ни ШИША — напрасная трата денег.
Все деньги вкладываем вначале на два года в проект В, а потом на три года в проект С. Можно и наоборот, разницы нет: 2 + 3 = 5 = 3 + 2. Ключевая фраза «максимизировать суммарную величину прибыли».
Суммарная прибыль за пять лет по двум проектам: 100 000 * 5 = 500 000 $.

Ты, ишак, топай отседова — туды topic18025.html