Компания использует грузовые автомобили

Попробуйте решить! Задача о замене оборудования – Экономика [...]

Дано:
Компания использует грузовые автомобили для доставки заказов покупателям и планирует заменить свои автомобили на протяжении последующих 5 лет. Годовые затраты, связанные с использованием нового грузовика, являются нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием m=250 долл. и среднеквадратическим отклонением s=30 долл.. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение годовых эксплуатационных затрат через год возрастают на r=10 %.

Стоимость нового грузового автомобиля в настоящее время равна С=20000 долл. и через год возрастает, как ожидается, на r1=8%. Грузовые автомобили используются чрезвычайно интенсивно, поэтому существует вероятность того, что каждый из них может сломаться в любое время.
Можно сдать старый автомобиль при покупке нового. При этом стоимость старого автомобиля зависит от того, находится он в рабочем состоянии или нет. В начале 6-го года автомобиль подлежит продаже по цене, которая также зависит от его состояния (аварийное или рабочее).

В таблице №1 указаны вероятности поломки автомобиля в зависимости от его возраста.

Если автомобиль используется 1 год и находится в рабочем состоянии, то его стоимость равна 70% от начальной и далее ежегодно уменьшается на r2=12%. Если он находится в аварийном состоянии, то показатель стоимости уменьшается в 2 раза.

Таблица №1
Возраст автомобиля:_____0_____1______2______3_____4_____5______6
Вероятность поломки: __0,01___0,05___0,10___0,16___0,25___0,40___0,60

Требуется:
Разработать оптимальную политику замены оборудования.

Комментарий!
ALEXIN: мне не понравилось предлагаемое решение по ссылке. Надо дать математикам по шее — за вычурность, совсем ошалели.

Решение:
А что если всё перевести в проценты?! Развлекаюсь!

1) Стоимость нового грузового автомобиля в настоящее время равна С=20000 долл. и через год возрастает, как ожидается, на r1=8%.

Таблица № 2: рост цен на новые грузовики и эксплуатационных затрат по годам
Период в годах – t:____0______1_______2_______3______4_______5_______6
Цена грузовика – С: _100,00__108,00__116,64 __125,97__136,05__146,93___158.69
Эксплуатация – m: ___1,250___1,375___1,513 ___1,664___1,830___2,013___2,214
Доля затрат – m/С: ___0,125___0,127___0,130 ___0,132___0,135___0,137___0,140

Пояснение:
250/20000 * 100 = 1,25 %; 30/20000 * 100 = 0,15 %
Отклонение – s: не рассчитываем. Ни к чему!


2) Если автомобиль используется 1 год и находится в рабочем состоянии, то его стоимость равна 70% от начальной цены и далее ежегодно уменьшается на r2=12%. Если он находится в аварийном состоянии, то показатель стоимости уменьшается в 2 раза.

Таблица № 2: цена старого грузовика в зависимости от срока работы и вероятности поломок — как остаточная стоимость в процентах
0 год: 100 – (100,0*0,30*0,99 + 100,0*2*0,30*0,01) = 69,70 %
1 год: 69,7 – (69,70*0,12*0,95 + 69,70*2*0,12*0,05) = 60,92 %
2 год: 60,92 – (60,92*0,12*0,90 + 60,92*2*0,12*0,10) = 52,88 %
3 год: 52,88 – (52,88*0,12*0,84 + 52,88*2*0,12*0,16) = 45,52 %
4 год: 45,52 – (45,52*0,12*0,75 + 45,52*2*0,12*0,25) = 38,69 %
5 год: 38,69 – (38,69*0,12*0,60 + 38,69*2*0,12*0,40) = 32,19 %
6 год: 32,19 – (32,19*0,12*0,40 + 32,19*2*0,12*1,20) = 21,37 %


3) Предположим, предприятие имеет 100 грузовиков, которые были приобретены одновременно по лизингу с ежегодной выплатой 25 % от суммы сделки:
100 * 20000 * 0,25 = 500000 долл.

Рентабельность пусть составляет для первого года 50 %, Интересно, сколько лет фирма продержится на плаву?

Также предполагаем: при износе грузовика свыше 67, 81 % — эксплуатация запрещена по закону. Посадят хозяина фирмы в тюрьму.

Тогда предприятие сможет приобретать новые грузовики за счёт амортизации и прибыли. На кредиты уже не рассчитываем.


4) Сумма затрат для первого года составит, как амортизация и эксплуатация:
100 * 20000 * (1,000 – 0,697) + 100 * 250 = 606000 + 25000 = 631000 долл.

Прибыль: 631000 * 0,50 = 315500 долл.

Как рассчитать: сколько по максимуму сможем купить ещё новых грузовиков, учитывая замену?

606000 + 315500 – 500000 = 421500 долл. — наш остаток после уплаты лизинга!

Варианты:
Первый вариант:
421500/ (20000 * 1,08) = 19,51 — не более 19 штук. Уже своих грузовиков без лизинга — хорошо!
Второй вариант:
421500/ (20000 * 1,08 – 20000 * 0,697) = 55,03 не более 55 штук. Уже своих грузовиков без лизинга — совсем хорошо!


5) Сумма затрат для второго года составит, как амортизация и эксплуатация:
55 * 20000 * 1,08 * (1,000 – 0,697) + 45 * 20000 * (0,697 – 0,6092) + 55 * 250 * 1,1 +
45 * 250 * 1,1 * 1,1 = 359964 + 79020 + 13750 + 15125 = 467859 долл.

Прибыль: 467859 * 0,50 = 233929,5 долл.

Наш остаток после уплаты лизинга:
359964 + 79020 + 233929,5 – 500000 = 172913,5 долл.

Меняем грузовики, которые по второму году:
172913,5/(20000 * 1,08 *1,08 – 20000 * 0,6092) = 15,51 не более 55 штук. Уже своих грузовиков без лизинга — 70 штук (55 + 15)!

Чувствую, дальше будут проблемы у фирмы. Потом посчитаю. Ждите.

Уточнение фразы!

Меняем грузовики, которые по второму году:

172913,5/(20000 * 1,08 *1,08 – 20000 * 0,6092) = 15,51 — не более 15 штук. Уже своих грузовиков без лизинга — 70 штук (55 + 15)!


6) Переходим к третьему году, используя все ресурсы.

Сальдо по переходящему остатку от первого года:

421500 – 55 * (20000 * 1,08 – 20000 * 0,697) = 200 долл.

Сальдо по переходящему остатку от второго года:

172913,5 – 15 * (20000 * 1,08 * 1,08 – 20000 * 0,6092) = 172913,5 – 167160 = 5753,5 долл.

Сумма затрат для третьего года составит, как амортизация и эксплуатация:

15 * 20000 * 1,08 * 1,08 * (1,000 – 0,697) + 55 * 20000 * 1,08 * (0,697 – 0,6092) + 30 * 20000 * (0,6092 – 0,5288) + 15 * 250 * 1,1 + 55 * 250 * 1,1 * 1,1 + 30 * 250 * 1,1 * 1,1 * 1,1 = (106025,76 + 104306,4 + 48240) + (4125 + 16637,5 + 9982,5) = 258572,16 + 30745 = 289317,16 долл.

Прибыль третьего года (с учётом сальдо переходящих остатков средств за два первых года):

289317,16 * 0,50 + 200 + 5753,5 = 150612,08 долл.

Предварительный расчёт по нашему остатку после уплаты лизинга:

(106025,76 + 104306,4 + 48240) + 150612,08 – 500000 = -90815,76 долл. — нельзя!

Где же выход? Ладно, продадим девять старых грузовика, по остаточной стоимости — для оплаты по лизингу. Наш остаток составит:

(106025,76 + 104306,4 + 48240) + 150612,08 – 500000 + 9 * 20000 * 0,5288 = 4368,24 долл.

90815,76/(20000 * 0,5288) = 8,59 штук

Ничего уже не покупаем. Всё делаю на живую мысль. Поэтому некоторые рассуждения придётся доработать.


7) Переходим к четвёртому году, используя все ресурсы.

Сальдо по переходящему остатку от третьего года: 4368,24 долл.

Сумма затрат для третьего года составит, как амортизация и эксплуатация:

15 * 20000 * 1,08 * 1,08 * (0,697 – 0,6092) + 55 * 20000 * 1,08 * (0,6092 – 0,5288) + (30 – 9) * 20000 * (0,5288 – 0,4552) + 15 * 250 * 1,1 *1,1 + 55 * 250 * 1,1 * 1,1 * 1,1 + (30 – 9) * 250 * 1,1 * 1,1 * 1,1 *1,1 = (30722,98 + 95515,2 + 30912) + (4537,5 + 18301,25+ 7686,53) = 157150,18 + 30525,28 = 187675,46 долл.

Прибыль четвёртого года (с учётом сальдо переходящего остатка средств за третий год):

187675,46 * 0,50 + 4368,24 = 98205,97 долл.

Предварительный расчёт по нашему остатку после уплаты лизинга:

(30722,98 + 95515,2 + 30912) + 98205,97 – 500000 = -244643,85 долл. — не хватает!

Продаём 21 самый старый грузовик, по остаточной стоимости — для оплаты по лизингу:

21 * 20000 * 0,4552 = 191184 долл.

Продаём ещё 5 старых грузовиков, по остаточной стоимости — для оплаты по лизингу:

5 * 20000 * 1,08 * 0,5288 = 57110,4 долл.
(191184 – 244643,85)/(20000 * 1,08 * 0,5288) = -4,68 штук

Наш остаток составит:
(30722,98 + 95515,2 + 30912) + 98205,97 – 500000 + (191184 + 57110,4) = 3650,55 долл.

Ничего уже не покупаем. Нет денег.


8) Переходим к пятому году, используя все ресурсы.

Сальдо по переходящему остатку от четвёртого года: 3650,55 долл.

Сумма затрат для пятого года составит, как амортизация и эксплуатация:

15 * 20000 * 1,08 * 1,08 * (0,6092 – 0,5288) + (55 – 5) * 20000 * 1,08 * (0,5288 – 0,4552) + 15 * 250 * 1,1 * 1,1 * 1,1 + (55 – 5) * 250 * 1,1 * 1,1 * 1,1 * 1,1 = (28133,57 + 79488) + (4991,25 + 18301,25) = 107621,57 + 23292,5 = 130914,07 долл.

Прибыль пятого года (с учётом сальдо переходящего остатка средств за четвёртый год):

130914,07 * 0,50 + 3650,55 = 69107,59 долл.

Предварительный расчёт по нашему остатку после уплаты лизинга:

(28133,57 + 79488) + 69107,59 – 500000 = -323270,84 долл. — не хватает!

Продаём 33 самых старых грузовиков, по остаточной стоимости — для оплаты по лизингу:

33 * 20000 * 1,08 * 0,4552 = 324466,56 долл.

-323270,84/(20000 * 1,08 * 0,4552) = -32,88 штук

Наш остаток составит:

(28133,57 + 79488) + 69107,59 – 500000 + 324466,56 = 1195,72 долл.

Ничего уже не покупаем. Лизинг покрыт.

Примерно заработали за пять лет:

1195,72 + (15 * 20000 * 1,08 * 1,08 * 0,5288) + (17 * 20000 * 1,08 * 0,4552) = 353382,86 долл.

Среднегодовой доход: 353382,86/5 = 70676,57 долларов

Или в месяц: 353382,86/(5 * 12) = 5889,71 долларов


Вопрос: как можно было всё оптимизировать (улучшить), чтобы получить максимальный доход? Как его найти?

Они, пока не знаю кто — дают странные (ненормальные) решение. Ничего не понятно.

Постановка задания

Компания использует грузовые автомобили для доставки заказов покупателям и планирует заменить свои автомобили на протяжении последующих 5 лет. Годовые затраты, связанные с использованием нового грузовика, являются нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием m=380 долл. и среднеквадратическим отклонением s=50 долл. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение годовых эксплуатационных затрат через год возрастают на r=16%. Стоимость нового грузового автомобиля в настоящее время равна С=33000 долл. и через год возрастает, как ожидается, на r1=14%. Грузовые автомобили используются чрезвычайно интенсивно, поэтому существует вероятность того, что каждый из них может сломаться в любое время. Можно сдать старый автомобиль при покупке нового. При этом стоимость старого автомобиля зависит от тог, находится он в рабочем состоянии или нет. В начале 6го года автомобиль подлежит продаже по цене, которая также зависит от его состояния (аварийное или рабочее). В таблице указаны вероятности поломки автомобиля в зависимости от его возраста. Если автомобиль используется 1 год и находится в рабочем состоянии, то его стоимость равна 70% от начальной и за год уменьшается на r2=15%. Если он находится в аварийном состоянии, то соответствующие показатели уменьшаются в 2 раза. Разработать оптимальную политику замены оборудования.

Таблица 1 -Вероятности поломки автомобиля в зависимости от его возраста
Возраст автомобиля:_____0_____1______2______3_____4_____5______6
Вероятность поломки: __0,01___0,05___0,10___0,16___0,25___0,40___0,60

Решение от них




Схема от них




P.S. По-моему, они просто дурачат студентов разной ерундой!

Как проверить?

КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА [...]

15.1. Компания использует грузовые автомобили для доставки заказов покупателям и планирует заменить свои автомобили на прРяжении последующих пяти лет. Годовые затраты, связанные с использованием нового грузовика, являются нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 300 долл. и среднеквадратическим отклонением 50 долл. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение годовых эксплуатационных затрат через год возрастают на 10 %. Стоимость нового грузового автомобиля в настоящее время равна 20 000 долл. и через год возрастет, как ожидается, на 12 %. Грузовые автомобили используются чрезвычайно интенсивно, поэтому существует вероятность того, что каждый из них может окончательно сломаться в любое время. Можно сдать старый автомобиль при покупке нового. При этом стоимость старого автомобиля зависит от того, находится ли он в рабочем состоянии. В начале шестого года автомобиль подлежит продаже по цене, которая также зависит от его состояния (аварийное или рабочее). Приведенная ниже таблица содержит данные, описывающие ситуацию в зависимости от возраста автомобиля.

Таблица
Возраст автомобиля:_____0_____1______2______3_____4_____5______6
Вероятность поломки: __0,01___0,05___0,10___0,16___0,25___0,40___0,60

Если автомобиль использовался 1 год и находится в рабочем состоянии, то его стоимость равна 70 % от начальной и за год уменьшается на 15 % . Если же он находится в аварийном состоянии, то соответствующие показатели уменьшаются в два раза. Стоимость автомобиля в виде испорченного имущества в начале шестого года составляет 200 долл., если он находится в рабочем состоянии, и 50 долл., если он аварийный. Разработайте оптимальную политику замены автомобилей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Bertsekas D. Dynamic Programming: Deterministic and Stochastic Models, Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J., 1987.

2. Cooper L. and Cooper M. Introduction to Dynamic Programming, Pergamon Press, New York, 1981.

3. Smith D. Dynamic Programming: A Practical Introduction, Ellis Horwood, London, 1991.

Литература, добавленная при переводе

1. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. - М.: Наука, 1965.

2. Романовский И. В. Алгоритмы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1977.


P.S. Задача старая, уже 50 лет (1965-2015). Попробую найти осмысленное решение. Крайне неудачный перевод на русский язык и нарушения стилистики — главная причина двусмысленности неясности. Задача от кретина!

Например, фраза:
Если автомобиль использовался 1 год и находится в рабочем состоянии, то его стоимость равна 70 % от начальной и за год уменьшается на 15 % . Если же он находится в аварийном состоянии, то соответствующие показатели уменьшаются в два раза.

Неужели будет так: то его стоимость равна 70/2 = 35 % от начальной и за год уменьшается на 15/2 = 7,5 %?!


Конкурс бредунов!
Студенты будьте осторожны, когда встречаете — научно-популярное издание (??). Это, как правило — привет от долбо#бов. Никто ответственности не несёт.
Доверяйте только учебной литературе (!!), имею сам горький и тяжёлый опыт.


Стр. 195 [...]
КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА
15.1. Компания использует грузовые автомобили…


Стр. 286 [...]

В ответах решения нет!
ГЛАВА 15

УПРАЖНЕНИЯ 15.1

2. 1-й день: продавать, если предлагают высокую цену. 2-й день: продавать, если предлагают высокую или среднюю цены. 3-й день: продавать за любую цену.

УПРАЖНЕНИЯ 15.2

1. Первый год: инвестировать все 10 ООО долл. Второй год: инвестировать все накопленные деньги. Третий год: воздержаться от инвестиций. Четвертый год: инвестировать все накопленные деньги.

4. Центр 1 - 2 велосипеда, центры 2 и 3 - по 3 велосипеда. УПРАЖНЕНИЯ 15.3

3. Игра 1: ставка - 1 долл. Игра 2: ставка - 1 долл. Игра 3: ставка - 1 долл., если был выигрыш в предыдущей игре, иначе третью игру пропустить.



Стр.292 [...]
Научно-популярное издание

Хемди А. Таха

Введение в исследование операций

7-е издание

Литературный редактор

Верстка

Художественный редактор Корректоры

О.Ю. Белозовская В.И. Бордюк В.Г. Павлютин

З.В.Александрова у Л Л. Гордиенко, JT.B. Чернокозинская

Издательский дом Вильяме . 101509, Москва, ул. Лесная, д. 43, стр. 1.

Подписано в печать 24.01.2005. Формат 70X100/16. Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л. 73,53. Уч.-изд. л. 48,87. Тираж 3000 экз. Заказ № 560.

Скачал!
Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач [...]
М.: Наука, 1977. - 352 с.
В книге излагаются теория и численные методы решения важных классов экстремальных задач: общей задачи линейного программирования, транспортной задачи и задач, ей родственных, комбинаторных задач на графах, ряда дискретных задач динамического программирования
Глава 1 Подготовительные сведения
Глава 2 Некоторые общие сведения о линейном программировании
Глава 3 Транспортная задача
Глава 4 Задачи, родственные транспортной
Глава 5 Многоэкстремальные задачи на графах
Глава 6 Рекуррентные методы (модели динамического программирования)
Глава 7 Марковские процессы решения

На стр. 277-278 — У Романовского такой задачи нет! Наверно, постыдился писать ерунду. Есть другая, там понравились осмысленные рассуждения

Обычное геометрическое решение методом динамического программирования задачи о замене оборудования.

Точнее, решал обычный мудак и шарлатан. Родственная душа vetvet.

Для умных!
Пусть хоть кто-нибудь привёдёт пример из учебника по этой задаче.

Хотя задаче более 50 лет, почему ни один разумный автор не взялся за её решение? Сырая, как бредовая фантазия. Уж очень она нелогична и косноязычна.

Фиглярское (от кривляки, позера) решение, выше — через геометрию, всерьёз не воспринимаю. Имитирует работу ума — с целью выбить деньги из студентов.

Просто вам не дано динамическое программирование, и математическое программирование вообще. Бывает.

Когда просят, говорят "пожалуйста", а свои приказы выполняйте сами.

vetvet!

Объясните нам: каким программированием пользовался ваш коллега (математик-шарлатан), использовавший геометрическую интерпретацию? Неужели секретным?
У меня совсем другие графики по его формулам получаются.

График 1




Plot 380*(1 + 0.16)^(t + 1) –33000*(0.4*0.7*0.85(t+1)+0.6*0.3*0.925(t+1)), t=0..5 [...]^%28t+%2B+1%29+%E2%80%9333000*%280.4*0.7*0.85%28t%2B1%29%2B0.6*0.3*0.925%28t%2B1%29%29%2C+t%3D0..5+&x=7&y=4


График 2



Plot 63539+380*(1 + 0.16) –33000*(0.4*0.7*0.85t+0.6*0.3*0.925t), t=0..5 [...]


График 3




Plot 63539+380*(1 + 0.16) –33000*(0.4*0.7*0.85t+0.6*0.3*0.925t) && 380*(1 + 0.16)^(t + 1) –33000*(0.4*0.7*0.85(t+1)+0.6*0.3*0.925(t+1)), t=0..5
[...]^%28t+%2B+1%29+%E2%80%9333000*%280.4*0.7*0.85%28t%2B1%29%2B0.6*0.3*0.925%28t%2B1%29%29%2C+t%3D0..5+&x=5&y=5